FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS EN LA ANTIGUA GRECIA
Prof.
Sergio Dávila Espinosa
sdavila@slp1.telmex.net.mx
INTRODUCCIÓN:
La mayoría de los profesores de Matemáticas piensan, como yo mismo pensaba hasta hace poco, que la Matemática es una ciencia formal y exacta que poco, o mejor, casi nada tiene que ver con la Filosofía. En mi experiencia, al trabajar con muchachos de preparatoria, cuando llega el momento en que tienen que escoger el área de especialización de su bachillerato, es muy frecuente que los alumnos que se inclinan por el área de Socio-Humanidades, cuando se les cuestiona acerca de sus motivos, contestan que no quieren estudiar más Matemáticas, que no quieren volver a llevar una materia de Matemáticas mientras sigan estudiando. Algo similar sucede con los alumnos que escogen el área Físico-Matemática no quieren saber nada más de Doctrinas Filosóficas, ni de Lógica, ética o Estética. Pareciera entonces que la Filosofía y la Matemática estuvieran en posición irreconciliable una frente a la otra. Muchos de quienes estudian Matemática, ven como una pérdida de tiempo el cuestionarse sobre el sentido de la existencia, o sobre el origen del conocimiento. Por otro lado muchas personas que estudian filosofía o alguna ciencia social o humanista, ven en la Matemática sólo números, fórmulas y problemas que no son significativos en su experiencia. Muchas veces se prejuicia al matemático como un individuo frío, calculador y extraordinariamente pragmático. Sin embargo entre los Matemáticos también existen diferencias: por un lado están quienes aprecian las matemáticas llamadas "puras", viendo en su desarrollo la actividad más digna a la que un hombre puede dedicarse; mientras para otros, las Matemáticas sólo tienen sentido cuando son "aplicadas", para ellos la Matemática pura es carente de significado. Este aislamiento no es nuevo, Frege afirmaba que los matemáticos en cuanto encuentran expresiones como "concepto", "juicio", "relación", piensan; metaphysica sunt, non leguntur!; y los filósofos, al ver una fórmula exclaman: mathematica sunt, non leguntur! *1
El objetivo de este trabajo es el de mostrar la relación que existe entre la Filosofía y la Matemática, relación que se da desde los mismo orígenes de ambas ciencias, pretendiendo demostrar que entre ellas hay mucho más en común que lo que uno podría esperar.
TALES DE MILETO: ¿PADRE DE LA FILOSOFÍA O DE LA GEOMETRÍA?
Tales de Mileto(año 640-548 a. C.) fue mercader en su juventud, visitó muchos países haciendo riqueza y aprendiendo de las novedades que veía. Así conoció Egipto y aprendió los elementos de geometría que allí se conocían, conocimientos prácticos de una geometría "material". La leyenda nos lo describe al pie de la pirámide de Keops sorprendiendo a los sacerdotes y sabios al determinar su altura. Otra de las anécdotas que se cuentan de su vida es cuando estuvo encargado de unas mulas cargadas con sacos de sal, en su camino al cruzar el río una mula resbaló; la sal se disolvió y su carga se aligeró, El animal entonces se sumergía mañosamente cada vez que tenía que cruzar un río. Tales encontró la solución para darle una lección a la mula, la cargó con un saco de esponjas. En otra ocasión se apoderó de todas la cosecha de olivas y al tener el "monopolio" como dueño del mercado les demostró lo negativo que esto podría ser y después vendió todo a precio razonable. Como mercader acumuló riqueza suficiente para consagrarse al estudio durante los años de su edad madura. *2
Hasta entonces otras culturas, por ejemplo la egipcia, resolvían problemas geométricos en forma eminentemente empírica ya que no utilizaban un sistema lógico deductivo. El mayor mérito de los sabios griegos fue el transformar la geometría al cambiar el enfoque de la misma de empírico a deductivo, Uno de los protagonistas de esta transformación fue también Tales de Mileto a quien se le reconocen los primeros intentos para transformar la geometría en un ciencia racional al abstraer de las cosas perceptibles, las líneas, ángulos y superficies que las determinan. Tales de Mileto destacó al resolver ciertas cuestiones como la determinación de distancias inaccesibles; la igualdad de los ángulos de la base en un triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito y la demostración del teorema que lleva su nombre, relativo a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas. También se le atribuyen cosas tan prácticas como la determinación del número correcto de días del año,
Se ve en la figura de Tales de Mileto al Padre de la Filosofía. Fundó en Mileto una escuela de matemáticas y filosofía, llamada escuela jónica; en esta escuela aporta un enfoque diferente: racional y objetivo, para abordar los cuestionamientos a las preguntas sobre el sentido último de la existencia, que hasta ese momento sólo se habían tratado desde un enfoque mitológico. Los antiguos griegos no diferenciaban las ciencias específicas de la filosofía, eran para ellos filosofías especiales.
A Tales de Mileto se le conoce como uno de los "siete sabios". En su afán por la abstracción, que consideraba más valiosa que la intuición o la sensibilidad, llegó a la conclusión de que "Todo es Agua". * 3 Esta afirmación nos puede parecer ingenua pero él reconocía el estado húmedo en los animales y las plantas, observaba que la tierra "flota sobre el agua". Quizá la respuesta no sea apropiada pero debemos enfocar nuestro interés a la pregunta: por primera vez se pregunta el hombre sobre el origen de todo lo que existe. A la escuela jónica también pertenecieron otros filósofos como Anaximandro y Anaxágoras. Estos últimos se destacan también por su posición ante el problema de la metafísica afirmando que la substancia última de la cual está constituido todo el universo es el infinito y el aire respectivamente. Así pues, observamos como en Grecia, en forma paralela al nacer y desarrollarse la filosofía también nacía y se desarrollaba en el mismo escenario y con la acción de los mismos personajes la geometría.
PITÁGORAS DE SAMOS: LOS NÚMEROS GOBIERNAN AL MUNDO
Otro filósofo-geómetra destacado fue sin duda alguna Pitágoras de Samos (586-500 a.C) uno de los hombres más famosos y enigmáticos de la antig FCedad. Discípulo de Tales, quien agradecido con los sacerdotes egipcios le pide viajar a visitarlos. Se establece en Crotona, al sur de Italia después de haber viajado a Egipto, Babilonia e incluso a la India. Comenzó a enseñar sobre filosofía y matemáticas con tanto éxito que entre su auditorio contaba con personas de distintas clases sociales e incluso asistían mujeres, que infringían un reglamento que les prohibía asistir a reuniones públicas. Entre estas mujeres estaría Theano una hermosa joven con la cual se casó, y quien escribió una biografía de Pitágoras; desgraciadamente con el paso del tiempo, se perdió. * 4
Funda una escuela filosófica y su famosa sociedad secreta para la propaganda de sus doctrinas. De esta cofradía se cuentan historias fantásticas como el que juraban no revelar los secretos y enseñanzas de dicha escuela. En la sociedad lo compartían todo y sostenían las mismas creencias filosóficas. No podían comer carne, ni podían usar vestidos de lana, ni recoger lo que se había caído, Si alguna desgracia ocurría a algún miembro la atribuían al haber revelado algún secreto. * 5
Era tal su entusiasmo por los números y las propiedades que descubría en ellos, que llegó a afirmar que "los números gobiernan al mundo". Su pasión por los números lo llevó a pensar en el problema de definir el infinito, su definición aunque sencilla es correcta: "una cosa que no tiene magnitud asimilable". En la sociedad pitagórica se encuentran extrañamente mezcladas especulaciones numéricas fantasiosas con los principios de una teoría científica de los números: dividen a los números en pares e impares, aparecen los números primos y con ellos la significación de algunos números como nefastos (p.e. el 13) y otros como perfectos (p.e. el 10). También clasifican los números como Triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, en escuadra, cúbicos etc. * 6
En la Geometría se le reconoce la demostración del teorema que establece que el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. Sin embargo se da cuenta que la diagonal de un cuadrado no es conmensurable a con sus lados y concluye que la extracción de raíces es una operación ilegítima y humillante. También se le reconoce a él o sus discípulos la construcción del pentágono regular y la de los cinco poliedros regulares. Adoptó como insignia de su cofradía la estrella pentagonal. Pitágoras y su cofradía comparten con los griegos su gusto por la música, es por esto que empieza a realizar estudios teóricos sobre ella, descubriendo la relación que existe entre la armonía de un intervalo de tono y las proporciones de las cuerdas que producen dicho tono. También intentaron relacionar este descubrimiento con los planetas y sus distancias, afirmando que cada astro da una nota y juntas conforman la música celestial que es imperceptible para el oído humano. Estos descubrimientos lo llevaron a concluir que los números enteros son la medida de todas las cosas y por lo tanto la idea última de la cual está constituido el universo es el número. Esta afirmación tiene ya un carácter filosófico de respuesta al sentido último de la naturaleza, es decir metafísico. Los números son la esencia de las cosas; los seres que existen son imitación de los objetos matemáticos. La escuela pitagórica entiende la filosofía como un modo de vida. Su concepción de la vida los lleva a adoptar una disciplina especial basada en la contemplación. * 7 Muchas de las ideas pitagóricas sobre el número se encuentran desarrolladas en los conceptos del idealismo filosófico de Platón que a continuación analizaremos.
PLATÓN: "DIOS SIEMPRE HACE GEOMETRÍA"
La historia continúa en Atenas, ciudad que después de la victoria sobre los persas se convierte en el centro político, comercial y cultural del mundo griego. Los filósofos destacados en esta escuela eran además notables matemáticos y astrónomos, entre ellos nos ocuparemos de Platón quien tiene una gran influencia sobre el curso que tomarían las matemáticas. Funda y dirige su famosa Academia . Sobre la puerta de entrada a su cátedra los estudiantes leían un letrero que decía: "Que no entre aquí nadie que no sepa geometría. *8
Podemos notar una influencia pitagórica en el pensamiento platónico que enfatiza la importancia del conocimiento de los números hasta concebir como una verdadera élite, merecedora de gobernar el mundo, a quienes se dedican a su estudio. También notamos influencia en la afirmación de que los cuerpos celestes son seres inteligentes, basado en las interpretaciones astronómicas de Pitágoras.
Platón afirma que lo único que existe realmente son las ideas, para entender esta afirmación consigamos una hoja de papel blanca, si la observamos bien veremos que la hoja no es completamente blanca, quizá sea un poco amarillenta, quizá tenga algunas manchas. Y sobre su supuesta forma rectangular, bastaría observarla detenidamente con una lupa para concluir que las esquinas no son perfectas. Entonces hay que concluir que la blancura y la forma rectangular no son, pues no encontraremos nada entre los objetos naturales que sea verdaderamente blanco o rectangular. Sin embargo, si podemos decir que la hoja no es completamente blanca es porque sabemos lo que es la blancura, así pues la blancura y la forma sí son. Pero además esta existencia ideal es eterna y perfecta. Por lo tanto el mundo está dividido en dos: el mundo aparente formado por los objetos materiales, y el mundo inteligible formado por los objetos matemáticos, las formas o ideas y el sumo bien. Los objetos matemáticos para Platón sirven como un puente para transportar la mente humana del mundo aparente del no ser, al mundo ideal e inteligible. El proceso para llegar al conocimiento va desde la captación de las imágenes sensibles (eikasía), a la percepción de los objetos (pistis, doxa), a través de los objetos matemáticos (diánoia) hasta la intuición y contemplación de las ideas (nóesis) que constituyen el verdadero conocimiento. * 9
Curiosamente, en el idealismo platónico descubrimos la idea de que los estudios matemáticos no deben enfocarse desde su valor práctico. Platón se distingue en la historia de la Geometría al oponerse a las aplicaciones de los conocimientos. Dicha objeción hoy en día es vista por algunos con muy malos ojos, basta como ejemplo citar a Marcel Boll: "Platón fue culpable de divagaciones extravagantes, de sombríos prejuicios y de fantásticas puerilidades. Si los sabios hubiesen seguido a Arquímedes más bien que a Platón y a Aristóteles, el nacimiento de las matemáticas modernas se hubiera adelantado veinte siglos a lo menos"` * 10
A Platón debemos la división de la Geometría en Elemental y Superior, La Geometría elemental comprendía todos los problemas que se podían resolver con regla y compás. La Geometría superior estudiaba los tres problemas más famosos de la Geometría antigua no resolubles (ahora los sabemos, pero en ese tiempo se buscaba su solución) con la regla y el compás:
1. La cuadratura del círculo. Se trata de construir utilizando solamente la regla y el compás el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado.
2. La trisección del ángulo. Se trata de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando solamente la regla y el compás.
3. La duplicación del cubo. Consiste en hallar mediante una construcción geométrica en la que se utilice solamente la regla y el compás, un cubo que tenga un volumen doble del de un cubo dado. * 11
Incluso llegó a considerar a la regla y al compás como instrumentos divinos por originar las líneas y formas que permiten resolver problemas. Estos problemas se pueden resolver, con la regla y el compás, con toda la aproximación que se desee, pero son irresolubles en forma exacta y en general. Se trata pues, de problemas que se pueden resolver en la práctica, pero que tienen una importancia puramente teórica. Sin embargo, para Platón, el estudio de la Geometría Superior no tenía más ambición que llegar al conocimiento por el conocimiento mismo, la Matemática Superior se desligaba de su finitud y participaba de la trascendencia de lo que es infinito, inmutable y verdadero.
Platón relacionó los cinco poliedros regulares (llamados cuerpos platónicos) con los elementos naturales, atribuyéndoles la representación del mundo físico: * El tetraedro es la TIERRA.. * El hexaedro es el AIRE. * El octaedro es el FUEGO. * El icosaedro es el AGUA. * El dodecaedro es el UNIVERSO.. Para algunos esta relación es una muestra de la ingenuidad de Platón. Al respecto Boll comenta: "Señalemos que Platón inventó un apareamiento chusco entre esos poliedros y los cuatro elementos, al cual añadió el Universo. Esas correspondencias no ofrecen mayor interés que si hubieran sido sacadas a la suerte de un sombrero.*12 Sin embargo, para otros Platón entiende que tierra, aire, fuego y agua están constituidos por partículas que tienen formas geométricas y que el universo entero tiene la forma del dodecaedro. Western plantea el cuestionamiento: "¿Esto es un sofisma, o bien una anticipación brillante de la teoría molecular de nuestros propios días?*13 Se cuenta que un día le preguntaron a Platón: ¿Qué hace Dios? a lo que inmediatamente contestó "Dios siempre hace geometría". Es interesante comentar cómo el maestro debe ser el guía en la formación de las nuevas generaciones a las que Platón sugiere enseñar en primer lugar cultura física, sin embargo esta cultura no debe estar dirigida a formar atletas, sino dar vigor al cuerpo para que redunde en la armonía del alma. Una vez que el niño se convierte en joven, a la edad de 16 años, se debe enfrentar a disciplinas de carácter matemático como lo son la aritmética, geometría, astronomía y música (no debe extrañar que se considere la música como disciplina matemática, recordemos que es la aplicación de conocimientos matemáticos la que da lugar a la fabricación de instrumentos musicales de cuerda, la escuela pitagórica se distinguió por ello). Para Platón el estudio que el joven ha de hacer de la matemática debe ser para preparar al educando para que en su madurez, (30 años) pueda estudiar la dialéctica. * 14
CONCLUSIONES
En este trabajo hemos abordado sólo tres de los filósofos-geómetras de la antigua Grecia, con estos tres botones de muestra podemos darnos cuenta cómo la Filosofía y la Matemática no se pueden separar en sus orígenes históricos. Podríamos haber estudiado otros ejemplos de grandes matemáticos que a su vez han sido grandes filósofos como Descartes y Leibnitz y que en su ejemplo vemos la posibilidad y hasta la necesidad de reconciliar estas dos disciplinas. Puedo aportar tres conclusiones al respecto de lo tratado: la primera se refiere a la necesidad de abordar las teorías filosóficas, aún las más antiguas, con profundo respeto por los hombres que en su tiempo se plantearon las grandes preguntas sobre el misterio de la existencia y el conocimiento. En muchas ocasiones habrá que resaltar que la principal aportación que ellos hicieron no son las respuestas sino las preguntas mismas.
Mi segunda conclusión se refiere a mi práctica docente: como profesor de Matemáticas encuentro en la Filosofía un veta riquísima para la mejor enseñanza de la Geometría, al incorporar a las clases anécdotas históricas sobre las aportaciones que hicieron los griegos al florecimiento de esta rama de la Matemática. Me parece muy adecuado que en cursos de Geometría se aborde el tema, aunque sólo sea en lo esencial, del Idealismo Platónico. Sólo así se entenderá el por qué de las construcciones tan sólo con regla y compás. Por último es importante conciliar además con los matemáticos mismos las posiciones encontradas entre los matemáticos puros (idealistas) y quienes defienden que la matemática sólo tiene sentido cuando se aplica (pragmáticos). En muchas ocasiones las decisiones en la Política educativa nacional dependen de quien simpatiza con uno de estos dos extremos de un recorrido pendular. En la reforma educativa de 1992 el entonces Secretario de Educación Pública, Dr. Ernesto Zedillo anunciaba con referencia a los cambios en los contenidos para el ciclo escolar 1993-1994: ..."es desechada la Lógica Matemática", para sustituirla por la enseñanza de las operaciones: sumar, restar, multiplicar y dividir. "Que los niños aprendan a relacionar y calcular las cantidades con precisión"... ..."no importa si los pequeños cuentan primero con los dedos, antes de entender lo que es un conjunto. Ni siquiera en secundaria es necesario ese enfoque de la lógica matemática, por lo que también se desechará" *15
Así, hoy vemos en los programas oficiales prácticamente de todos los niveles una tendencia hacia el pragmatismo matemático. Me parece que es importante recuperar una visión histórica del problema. La Matemática se puede aplicar porque hay quien la ha desarrollado. Es importante no alimentar en nuestros alumnos una educación sustentada únicamente en la seducción de la filosofía pragmática.
Hoy sabemos más cosas que los antiguos griegos, gracias a que la ciencia y la tecnología se han desarrollado, Hoy podemos dar explicaciones a muchos fenómenos naturales que los antiguos griegos sólo abordaron desde la mitología. Hoy sabemos más sobre cómo está constituido el ser humano, sabemos de su anatomía y de su fisiología, sabemos de células y genes. Sin embargo, si no somos soberbios, debemos reconocer que si bien es cierto que hoy sabemos más sobre el hombre, hoy sabemos menos qué es el hombre.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Chapa, Ma. Elena (1991); Introducción a la LÓGICA y nociones de teoría del conocimiento; pág. 11
2. Westren, Herbert (1979); "Los grandes Matemáticos"; pág. 10
3. Marías, Julián (1994); Historia de la Filosofía; pág. 13
4. Westren, Herbert; ob.cit.; pág.11
5. Marías, Julián; ob. cit.; pág. 14
6. Mondadori (1986); Matemática Tomo I; pág. 35
7. Marías, Julián; ob. cit.; pág. 18
8. Westren, Herbert; ob.cit.; pág. 24
9. Riestra, Miguel (1970); Fundamentos Filosóficos de la Educación; pág. 91
10. Boll, Marcel (1982); Historia de las Matemáticas; pp. 18 y 79
11. Baldor, Aurelio (1992); Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría; pág. 4
12. Boll, Marcel (1982); ob. cit.; pág. 111
13. Westren, Herbert; ob.cit.; pág. 24
14. Riestra, Miguel (1970); ob. cit. ; pág.
15. EPOCA, Semanario; No. 51; 25 de mayo de 1992, pág. 12
BIBLIOGRAFÍA
Copyright 1998, Prof. Sergio Dávila Espinosa <sdavila@slp1.telmex.net.mx>
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